Родился 4 апреля 1941 г. в г. Свободном Амурской области РСФСР.
После окончания средней школы № 9 в Кишнёве поступил на физико-математический факультет Кишинёвского государственного университета, а через год перевёлся в Московский энергетический институт на факультет автоматики и вычислительной техники.
Определяющей для творчества стала тема лётчиков и судьбы послевоенного поколения. Начал печататься в 11 лет. В 20 Феликс Чуев создаёт первую книгу стихов «Год рождения 41-й». Потом он создаёт другие книги, в том числе, «Соколиная песня крыла» (1970), «Отечество» (1972), «Награда» (1985), «Русский пламень» (1990) и другие.
Многие стихи Феликса Чуева стали песнями, музыка которых принадлежит Владимиру Шаинскому, Евгению Доге, Михаилу Чуеву, Анатолию Зубкову, Павлу Райгородскому, Александру Шемрякову, Владимиру Дружинину, Евгению Шмакову, Виктору Голикову, Вячеславу Сподареву, Борису Кураеву, Виктории Филатовой и другим.
Феликс Чуев сочетал поэтический дар с талантом публициста. Он — автор документально-художественных повестей о крупнейшем учёном Б. С. Стечкине и выдающемся авиаконструкторе С. В. Ильюшине, документальных повестей «Сто сорок бесед с Молотовым», «Солдаты империи» и других. В 1964 году Чуев окончил Московский энергетический институт.
Член Союза писателей СССР и России.
Скончался 2 апреля 1999 г. Похоронен в Москве на Троекуровском кладбище.
Красные асы. М.: Советская Россия, 1966.
Избранная лирика. М.: Молодая гвардия, 1967.
Соколиная песня крыла (1970)
Ясно солнышко. М.: Советский писатель, 1970.
Отечество (1972)
Виражи. М.: Современник, 1976.
Пятый лепесток (1977)
Стечкин (ЖЗЛ). Молодая гвардия. М., 1978.
Гроздь муската голубая (1982)
Я - подданный страны поэзии. М.: Советская Россия, 1982.
Курский соловей. М.: Советская Россия, 1983.
Избранное (1984)
Награда. М.: Современник, 1985.
Стихи. Новый мир 2 (1985).
«Сколько звезд отгорит надо мною...» Стихи. Юность 6 (1985).
Небо пяти эскадрилий. Стихи. Звезда 9 (1986).
Москву засыпал тополиный пух. Стихи. Москва 11 (1987).
То, что сбывается (1987)
Крылатая книга (1987)
Отражение (1988)
Русский пламень (1990)
«Народ наговорился всласть...» Стихи. Наш современник 12 (1990).
Русский пламень: стихи. М., 1990.
Сто сорок бесед с Молотовым. М.: Терра, 1991.
Порох (1991)
Предел. Стихи. Молодая гвардия 4 (1991).
Порох: стихи. М., 1991.
Так говорил Каганович. М.: Отечество, 1992.
А то, что был ты верен и кристален...» Стихи. Молодая гвардия 10 (1992).
Пламя вползает в дом. Стихи. Наш современник 6 (1993).
Родина - поле боя. Стихи. Молодая гвардия 5-6 (1993).
Не "списочный" маршал. М., 1995.
Маршал Жуков. Молодая гвардия, 8 (1995).
Ильюшин. Молодая гвардия, 4-6 (1997).
Ильюшин (ЖЗЛ). М.: Молодая гвардия, 1998.
Солдаты империи. Беседы. Воспоминания. Документы. М.: Ковчег, 1998.
Молотов. Полудержавный властелин. М.: Олма-Пресс, 2000.
Каганович. Шепилов. М.: Олма-Пресс, 2001.
Год рождения 41-й
Генерал кинжал. Молодая гвардия 5 (2002).